Ein Röstgas für die Herstellung von Schwefelsäure nach dem Kontaktverfahren hat die folgende Zusammensetzung in Vol.-%:
| comp | Vol% |
|---|---|
| $SO_2$ | 7,8% |
| $O_2$ | 10,8% |
| $N_2$ | 81,4% |
Der Gleichgewichtsumsatz bei 500°C und 1 bar beträgt 0,96.
$SO_2 + \frac{1}{2} O_2 {_{\leftarrow}^{\rightarrow}} SO_3$
Berechne die Zusammensetzung des Gasgemisches nach Erreichen des Gleich-gewichts.
Umsatz, auf der Basis des Schwefeldioxids:
$U_k =0,96= 1 - \frac{x_{SO_2}\dot{n}}{x_{0, SO_2}\dot{n_0}} $
Aus den Billanzen in einem geschlossenen Rührkessel ($n_i = n_{0, i} + \sum_j{\nu_{ij} \xi_j}$) entsteht ein System von 6 unabhängigen Gleichungen:
| no. | Gl. |
|---|---|
| 1 | $\rlap{x_{SO_2}\dot{n} = x_{0, SO_2}\dot{n_0} + \nu_{SO_2}\xi_1}$ |
| 2 | $\rlap{x_{O_2}\dot{n} = x_{0, O_2}\dot{n_0} + \nu_{O_2}\xi_1}$ |
| 3 | $\rlap{x_{N_2}\dot{n} = x_{0, N_2}\dot{n_0} + \nu_{N_2}\xi_1}$ |
| 4 | $\rlap{x_{SO_3}\dot{n} = x_{0, SO_3}\dot{n_0} + \nu_{SO_3}\xi_1}$ |
| 5 | $\rlap{1 = x_{SO_2} + x_{O_2} + x_{N_2} + x_{SO_3}}$ |
| 6 | $\rlap{U_k =0,96= 1 - \frac{x_{SO_2}\dot{n}}{x_{0, SO_2}\dot{n_0}}}$ |
Da in diesem System noch 7 Veränderlichen zu bestimmen stehen ($x_{SO_2}$, $x_{O_2}$, $x_{N_2}$, $x_{SO_3}$, $\dot{n}$, $\dot{n_0}$, $\xi_1$), erfolgt dessen Lösung durch die Verringerung der Anzahl an Variablen. Zwei Gruppen weisen sich als geeignet auf, um eine Rationalisierung durchzuführen:
Das System wird folgendermaßen umgesetzt:
| no. | Gl. |
|---|---|
| 1 | $\rlap{x_{SO_2}\left(\frac{\dot{n}}{\dot{n_0}}\right) = x_{0, SO_2} + \nu_{SO_2}\left(\frac{\xi_1}{\dot{n_0}}\right)}$ |
| 2 | $\rlap{x_{O_2}\left(\frac{\dot{n}}{\dot{n_0}}\right) = x_{0, O_2} + \nu_{O_2}\left(\frac{\xi_1}{\dot{n_0}}\right)}$ |
| 3 | $\rlap{x_{N_2}\left(\frac{\dot{n}}{\dot{n_0}}\right) = x_{0, N_2} + \nu_{N_2}\left(\frac{\xi_1}{\dot{n_0}}\right)}$ |
| 4 | $\rlap{x_{SO_3}\left(\frac{\dot{n}}{\dot{n_0}}\right) = x_{0, SO_3} + \nu_{SO_3}\left(\frac{\xi_1}{\dot{n_0}}\right)}$ |
| 5 | $\rlap{1 = x_{SO_2} + x_{O_2} + x_{N_2} + x_{SO_3}}$ |
| 6 | $\rlap{U_k =0,96= 1 - \frac{x_{SO_2}}{x_{0, SO_2}}\left(\frac{\dot{n}}{\dot{n_0}}\right)}$ |
Mit 6 Veränderlichen und umsoviel Gleichungen lässt sich eine Lösung finden. Gleichungen 1 zusammen mit 6 ermöglichen die sofortige Rechnung der Reaktionslaufzahl-Proportion, wonach die Auslaufstoffmengen-Proportion durch die Summe von Gleichungen 1 bis 4 und anhand der Gleichung 5 berechnet wird:
Aus 1 mit 6: $\left(\frac{\xi_1}{\dot{n_0}}\right) = \frac{-U_{SO_2}}{\nu_{SO_2}}\times x_{0, SO_2} = \frac{-0,96}{-1}\times 0,078$
Aus 1 bis 5: $(1)\left(\frac{\dot{n}}{\dot{n_0}}\right) = 1 + \left(\sum_i{\nu_{i1}} \right)\times \left(\frac{\xi_1}{\dot{n_0}}\right)$
$\left(\frac{\dot{n}}{\dot{n_0}}\right) = 1 + \left(\sum_i{\nu_{i1}} \right)\times \left(\frac{-U_{SO_2}}{\nu_{SO_2}}\times x_{0, SO_2} \right)=1 + \left(-1-1/2+1 \right)\times \left(\frac{-0,96}{-1}\times 0,078 \right)$
Somit kann jeder Molenbruch berechnet werden, unabhängig von den Zulaufs- und Auslaufströmen:
$x_i = \frac{x_{0, i}+\nu_i \left(\frac{\xi_1}{\dot{n_0}}\right)}{ 1 + \left(\sum_i{\nu_{i1}} \right)\times \left(\frac{\xi_1}{\dot{n_0}}\right)}$
In [18]:
x0so2 = 0.078
x0n2 = 0.814
x0o2 = 0.108
x0so3 = 0.0
nuso2 = -1.0
nun2 = 0.0
nuo2 = -1.0/2.0
nuso3 = 1.0
uk = 0.96
xi_durch_n0 = -uk/nuso2 * x0so2
n_durch_n0 = 1 + sum([nuso2, nun2, nuo2, nuso3]) * xi_durch_n0
xso2 = (x0so2 + nuso2 * xi_durch_n0)/n_durch_n0
xn2 = (x0n2 + nun2 * xi_durch_n0)/n_durch_n0
xo2 = (x0o2 + nuo2 * xi_durch_n0)/n_durch_n0
xso3 = (x0so3 + nuso3 * xi_durch_n0)/n_durch_n0
for var in [
'xi_durch_n0', 'n_durch_n0', 'xso2', 'xn2', 'xo2', 'xso3'
]:
print var + ': ' + '{0:g}'.format(locals()[var])